技術通報 305期_熱塑性聚合物行星齒輪減速機構強度分析 2025.04.24

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前言

行星齒輪系設計

強度計算

數值範例

結論

 

▋ 前言

　　馬達減速機在機械傳動系統中是不可或缺的，主要功能是將電動馬達的高轉速轉換為較低的轉速，以提高輸出扭矩，在這個過程中不僅能提高機械裝置的運作效率，還能增強負載能力，從而滿足不同工業應用的需求。一般常見的減速機主要使用齒輪機構，而行星齒輪系又因其高效能且緊湊的設計而受到青睞。如圖一所示，行星齒輪系通常由一個太陽齒輪、一個或多個環繞的行星齒輪、行星臂架以及外部的環齒輪組成。聚合物齒輪因為在輕量化、抗腐蝕性和噪音控制方面具有顯著優勢，因此在現代工程中正逐漸獲得關注。通常由各種塑料材料如聚甲醛(POM)、尼龍(PA)等製成，在降低重量的同時提供良好的機械性能，與傳統金屬齒輪相比，聚合物齒輪具有自潤滑的特性，減少了摩擦和磨損，延長了使用壽命。 　　齒輪強度分析是齒輪設計中很重要的一環，包含了齒面接觸應力與齒根彎曲應力的評估，齒輪強度與選擇的材料息息相關，因為計算較複雜，常藉由齒輪設計軟體輔助計算，但是因為聚合物材料種類繁多，假設材料庫中沒有相關材料資訊時，便要自行計算齒輪的強度。另外熱塑性材料的強度與溫度有關，因此在進行齒輪強度分析前應先推估齒輪工作溫度。因此本研究使用KISSsoft軟體輔助齒形設計，強度分析參考德國VDI-2736[1]標準計算聚合物齒輪的負載能力，透過與KISSsoft計算結果進行比對，提高計算的可靠度。

 

▋ 行星齒輪系設計

  本研究使用行星齒輪系設計一減速機構，其機構簡圖如圖所示，圖中s為太陽輪，r為固定環齒輪，p為行星輪，X為行星臂架。首先根據限制條件如整體最大直徑和長度等，以及所需要的速比計算合適的齒輪參數，例如：齒數、模數及轉位係數等。由於使用的是熱塑性材料，溫度對於材料性質有很大的影響，因此必須計算齒輪的工作溫度，再進行強度分析，確保齒輪在運行中不會產生破壞，如果強度不足，則選擇是否要修改齒形設計或是更換材料。

假設太陽輪為輸入，環齒輪固定，行星臂架作為輸出，則行星齒輪系的減速比和太陽輪與環齒輪的齒數相關，可由下式計算：

$$\mathrm{VR}=1+\frac{Z_r}{Z_s}$$

其中，VR為減速比，(Z_s)為太陽輪齒數，(Z_r)為環齒輪齒數。當減速比越大時轉速越慢，輸出扭矩也隨之增加。

根據文獻[2, 3]在設計行星齒輪機構時，太陽輪齒數(Z_s)、環齒輪齒數(Z_r)、行星輪齒數(Z_p)、行星輪個數(N_p)，要滿足同心條件、均勻分布條件與比鄰條件，以免發生干涉。

1. 同心條件
   在設計行星齒輪系時，太陽輪對行星輪以及行星輪對環齒輪之間的中心距必須相同，因此其齒數關係須滿足下式：

   $Z_{\mathrm{r}}=Z_s+2Z_p$

2. 均勻分布條件
   為了讓各行星輪之間所夾的角度相等，且與太陽輪嚙合時不會產生徑向負荷，因此太陽輪齒數加上環齒輪齒數，與行星輪的個數之間的比值要為正整數N，如下式所示： $$\frac{Z_r+Z_c}{N_P}\in N^{}$$
3. 比鄰條件
   針對標準齒輪，為了不讓相鄰兩個齒輪產生碰撞，因此太陽輪齒數、環齒輪齒數、行星輪齒數，與行星輪個數之間的關係須符合下式：$$Z_p+2<(Z_s+Z_p)\sin \frac{180}{N_p}$$

   若是轉位齒輪，行星齒輪外徑 需要滿足下式：

   　　
   

   其中， 為太陽輪與行星輪間的中心距。

    

 

▋ 強度計算

　　本研究使用熱塑性材料，齒輪的工作溫度對於材料性質有很大的影響，因此必須先計算齒輪的工作溫度，再對齒輪進行強度分析，包含齒面接觸應力與齒根彎曲應力的評估，所需要的材料性質包含拉伸疲勞強度、滾動接觸疲勞強度、楊氏模數與浦松比。 參考德國VDI-2736[1]標準，可由下式計算齒輪的工作溫度：

　　其中，ϑ_Fuβ 為齒輪溫度(°C)， ϑ₀為環境溫度(°C)，P為馬達標稱輸出(W)，μ為摩擦係數、H_v;為齒磨損程度，K_ϑ,Fuβ為傳熱係數(K·(m/s)^0.75·mm^1.75/W)，b為面寬(mm)，z為齒數，V_t為切向速度(m/s)，m_n為模數(mm)，R_λ,G為外殼的傳熱阻力(Km²/W)，A_G為外殼的散熱表面積(m²)，ED為相對嚙合時間。

當齒頂受到應力時會導致齒根受到彎曲應力，可由下式得出：

　　其中，σ_F 為齒根彎曲應力(N/mm²)，K_F 為齒根負載係數，Y_Fa 為齒形係數，Y_Sa 為應力修正係數，Y_ε 為接觸比率係數，Y_β 為螺旋角係數，F_t 為切向力(N)，b_f 為有效面寬(mm)，m_n 為模數(mm)，以上係數皆與齒形有關，並不受材料影響。σ_FP 為允許最大齒根彎曲應力(N/mm²)，與材料的疲勞係數以及安全係數有關，可由下式計算：

　　其中，Y_St 為應力修正係數，在計算聚合物齒輪強度時約等於 2，σ_FlimN 為材料拉伸疲勞強度(N/mm²)，S_Fmin 為允許最小齒根安全係數

　　齒面接觸應力是基於兩齒輪相互嚙合時，齒面上的接觸點所承受的壓力，齒面接觸應力可由下式計算：

　　其中，±分別為齒輪外嚙合與內嚙合，σ_H 為齒面接觸應力(N/mm²)，Z_E 為彈性係數(N/mm^20.5)，Z_H 為節點區域係數，Z_ε 為重合度係數，Z_β 為螺旋角係數，F_t 為切向力(N)，K_H為齒面載荷係數，b_w 為工作面寬(mm)，d₁ 為小齒輪直徑(mm)，u 為齒數比。除了彈性係數(Z_E)跟材料性質相關以外，其餘係數皆與齒形相關，彈性係數可由下式計算：

　　其中，ν為材料浦松比，E 為材料楊氏模數。

　　σ_HP 為允許最大齒面接觸應力(N/mm²)，與材料性質和安全係數有關，可由下式計算：

　　其中，σ_HlimN 為滾動接觸疲勞強度(N/mm²)，Z_R 為表面粗糙度，在計算聚合物齒輪強度時約等於1，S_Hmin 為允許最小齒面安全係數。

 

▋ 數值範例

　　本研究使用的材料為POM，減速機構整體直徑為26 mm，馬達轉速為24500 rpm，額定扭矩為13 N-mm，減速機內不添加潤滑。目標將輸出扭矩提升至65 N-mm，所需要的減速比為5。根據設計條件設計的行星齒輪減速機構基本參數列於表，其中模數為0.6 mm，中心距為7.0 mm，太陽輪、行星輪與環齒輪齒數分別為9齒、13齒與36齒，根據公式(1)得到的減速比為5，滿足設計條件，內齒輪的齒根圓直徑為23.52 mm，加上壁厚可滿足減速機構整體直徑要求，圖為利用SOLIDWORKS繪製出的減速機構模型圖。

 

　　計算完齒輪參數，接著需先計算齒輪工作溫度，所需的參數如表所列，計算出的工作溫度約為25°C。本研究採用POM，其材料性質如表三所示，假設齒輪是長時間連續負載，循環次數為10⁸，使用德國標準VDI-2736[1]計算齒根彎曲應力與齒面接觸應力的結果分別如表四與表五所示，經比較與KISSsoft計算結果相同。經過強度分析後，齒輪的安全係數皆超過1，由於在確認材料的性質時，負載循環次數選擇的是10⁸，因此材料的強度會較低，若是在低負載的使用情形下，根據不同負載循環次數的多寡，以POM為例，最大強度會相差到2倍，代表齒輪更不容易損壞。

 

 

 

 

▋ 結論

　　本研究透過KISSsoft軟體進行行星齒輪系的齒輪設計，根據德國標準VDI-2736[1]估算齒輪工作溫度並進行強度計算，包含齒根彎曲應力與齒面接觸應力，另與KISSsoft計算結果作比較，確認計算無誤，因此若軟體材料庫裡無選用的材料資料，可自行使用標準進行強度分析。除了強度分析之外，聚合物齒輪還必須要考慮到磨耗量，因為相比於一般的金屬齒輪，聚合物齒輪更容易受到磨損的影響，因此未來會向聚合物齒輪的磨耗量做進一步的探討。